Giáo trình Kinh tế lượng với các ứng dụng - Chương 12: Biến phụ thuộc định tính và giới hạn

Gọi pt là xác suất để cho Yt = 1, hoặc cũng tương đương với, ut = 1 – α – βXt (xem Bảng

12.1). Và 1 – pt là xác suất để cho Yt = 0, hoặc ut = - α – βXt. Do đó biến ngẫu nhiên ut không

tuân theo phân phối chuẩn, mà chúng thường được giả định là như vậy, mà là phân phối nhị

thức (xem Phần 2.1) chỉ với hai giá trị. Giá trị mong đợi của ut phải bằng zero, và do đó ta có

0 = E(ut) = pt (1 – α – βXt) + (1 – pt)( - α – βXt)

Giải phương trình này tìm pt, ta được pt = α + βXt. Phương sai của ut(σ t2 ) là E( ut2 ) bởi vì E(ut)

= 0. Theo định nghĩa,

2tσ = pt (1 – α – βXt)2 + (1 – pt)( - α – βXt)2 = pt(1 – pt)2 + (1 – pt) pt2 = pt(1 – pt)

lợi dụng dữ kiện α + βXt = pt. Từ đây σ t2 = (1 – α – βXt)(α + βXt), mà chúng thay đổi theo t, vì

vậy tạo ra phương sai của sai số thay đổi của các sai số ut.